Греки еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей. В частности, всякая прямолинейная фигура преобразовывалась в равновеликий ей квадрат. Поэтому понятно, что появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение.
Замечательные результаты в связи с решением этой задачи получил известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.). Он первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог: не было подходящего метода. Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов.
Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Вот пример такой луночки (рис.1).
Оказывается, что площади этих фигур равны и имеют общую часть - сегмент АВm.
Если вычтем эту площадь из площади каждой фигуры, то оставшиеся площади будут также равны. Таким образом, получается, что площадь луночки АтВп равна площади треугольника АОВ. Эта квадрируемая фигура - не единственная, которую нашел Гиппократ.
Казалось бы, что с появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части. Но этого сделать нельзя. Во второй половине прошлого столетия было доказано, что число пи, является трансцендентным, следовательно, нельзя построить с помощью циркуля и линейки отрезок, равный пи, а значит, и решение задачи данными средствами невозможно, так как длина окружности и площадь круга выражаются через пи.
Еще две задачи древности привлекали к себе внимание выдающихся ученых на протяжении многих веков, а попытки их решения обогатили математику значительными результатами.
Возникновение задачи об удвоении куба неизвестно. Она могла появиться из практических потребностей, например, увеличить в два раза вместимость амбара кубической формы, оставляя неизменной его форму.
Однако построить два средних пропорциональных отрезка к двум данным при помощи циркуля и линейки невозможно, что было установлено сравнительно недавно. Тем самым была доказана и невозможность решения задачи об удвоении куба классическими средствами, что заставило древних математиков искать другие способы решения. Они обратились к пространственным кривым, сечениям кругового цилиндра, конуса.
И третья задача, не разрешаемая с помощью циркуля и линейки, - деление угла на три равные части (трисекция угла).
Одним из приемов, применявшимся еще древними для ее решения, являлось механическое с помощью вставки. Правда, оно не считалось строгим. Под вставкой понимают вообще построение отрезка, концы которого лежат на данных линиях и который проходит через некоторую данную точку. Его можно получить механически с помощью линейки, на которой предварительно нанесены две метки на расстоянии, равном длине заданного отрезка. Эту линейку вращают вокруг неподвижной точки, перемещая в то же время таким образом, чтобы одна из меток двигалась по одной из заданных линий. Это продолжается до тех пор, пока вторая метка не окажется на второй заданной линии.
В конце IV в. до н.э. начинается серия завоевательных походов Александра Македонского. За короткий срок ему удалось создать гигантскую империю, но после его смерти полководцы разделили между собой эти территории, образовав державы. Важнейшими из них были царства Птолемеев в Египте и Селевкидов в Малой Азии. Государственным языком в них стал греческий. Началась эпоха эллинизма, которая закончилась взятием римлянами столицы Птолемеев Александрии (31 г. до н.э.).
Этому времени присущ рост городов, в связи с чем большое развития получила строительная техника, требовавшая хорошей математической подготовки инженеров и ремесленников. Для существования монархии были необходимы - армия и флот, поэтому военная техника достигла высокого уровня развития. Конструкции орудий и кораблей нуждались в сложных предварительных расчетах. По этой причине в эллинистических странах на протяжении нескольких столетий бурно развивалась математическая наука. Государства стали выделять большие средства для научных исследований. Так, в Александрии - столице Египта - был основан Музейон (Прибежище Муз) - научно-исследовательское и учебное заведение, куда приглашались крупнейшие ученые. При нем были созданы богатая библиотека, лаборатория, обсерватория, зоологический музей, ботанический сад, анатомический музей.
Ученые Александрии так же, как инженеры и военные, становились профессионалами: их основным занятием были научные исследования. Однако наука, развиваемая ими, нередко находилась в отрыве от техники и ремесел, изучались главным образом теоретические проблемы. Хотя каждый математик являлся одновременно астрономом и физиком, ни в одном их математическом труде нельзя найти даже намека на практическое назначение геометрии.
III-е столетие до нашей эры дало Александрии такие важные достижения в области математики, что вошло в ее историю как "золотой век". Исследования проводились главным образом в направлении обоснования, разработки и систематизации ранее добытых знаний. Вместе с тем, ряд ученых не порвал своих связей с практикой, что содействовало значительным сдвигам математики.
