Вклад Евклида в геометрическую науку



**************************

Главная страница
**************************

Геометрия в древней Греции
****************************

Развитие геометрии в Европе
***************************

Возникновение геометрических поняитий в древнем Египте и Вавилоне
***************************

Решение трех знаменитых задач древности

****************************

Литература
**********************

Об авторе
**************************
Евклид

Для геометрии эпохи эллинизма характерен интерес к построению логически завершенных теорий . Наиболее ярко эта тенденция отразилась в творчестве Евклида Александрийского (III в. до н.э.).

В III в. до н.э. древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием "Начала". В ней он подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида. Но профессиональные математики обращались также и к трудам других великих греческих ученых: Архимеда, Аполлония. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от неевклидовых, появившихся в XIX веке.

Об Евклиде история сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в самом его существовании. До наших времен дошли сведения, что ученый работал в Александрии, столице царя Птолемея I, начинавшей превращаться в один из центров научной жизни. Он был последователем Платона и преподавал, вероятно, четыре науки: арифметику, геометрию, теорию гармонии, астрономию.

Евклиду приписывается несколько теорем и новых доказательств, но их значимость не может быть сравнима с достижениями великих греческих геометров: Фалеса и Пифагора (VI в. до н.э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н.э.). Величайшая заслуга Евклида состоит в том, что он подвел итог построению геометрии и придал ей завершенную форму.

Он с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Позже греческие математики включили в сочинение еще XIV и XV книги. Главная особенность "Начал" состоит в том, что они построены по единой логической схеме, и все содержащиеся в них теории строго обоснованы по принципу построения научных дисциплин, который намечался еще у Аристотеля.

Труд Евклида справедливо считают образцом дедуктивной системы, строго выдерживающей изложение, исходящее из общих положений и идущее от них к частным. Однако это обстоятельство вовсе не означает, будто другой элементарный метод исследования, всегда неразрывно связанный с дедукцией, - индукция - в "Началах" отсутствует. Индукция, движение от частного к общему, от единичных данных чувственного опыта к рациональному обобщению, к абстракции неизбежно участвовала в образовании основных понятий, их определений, постулатов и аксиом, равно как и в создании самого логического приема дедукции. Ведь все эти геометрические понятия и логические приемы возникли в результате многократно повторяющегося опыта как отражения реальных предметов, их свойств и связей действительного материального мира, существующего независимо от сознания. Более того, индукция входит в неявном виде в любое геометрическое доказательство и построение. Одни лишь определения, постулаты и аксиомы не способны подсказать ни что следует доказывать или строить, ни то, каким путем это можно осуществить. И на то, и на другое нам указывает чувственная наглядность, как при прямом рассмотрении фигуры и построении вспомогательных линий, так и при помощи геометрической индукции. Индуктивным является и заключение теоремы от частного случая, например, от отдельного треугольника, для которого мы доказали ту или иную теорему, - к общему случаю, ко всем треугольникам вообще.

Так же, как с дедукцией и индукцией, обстоит дело в "Началах" с анализом и синтезом. Хотя в сочинении в явном виде не применяют аналитического метода сведения неизвестного к известному, тем не менее, без него невозможно было бы открытие доказательства. Анализ применяется всегда, когда переходят от определения к построению.

К логической структуре "Начал" относятся "случаи", "возражения", "следствия " и леммы. Под первым понимается то, что предложение может принимать несколько разновидностей зависящих от взаимного расположения элементов фигуры. "Возражение" может встретиться как раз тогда, когда опущено указание на возможные другие случаи. Это, как правило, встречается у древних, которые, зная о существовании других случаев, приводили все же лишь один, предоставляя ученикам находить и разбирать остальные. "Следствия" или королларий - это побочная теорема, найденная как бы невзначай в процессе доказательства основного доказуемого положения. Наконец, под леммой понималось вспомогательное положение, нужное для доказательства, которое обосновывалось до или после основной теоремы.

"Начала" Евклида начинаются с определений, постулатов и аксиом общих понятий. Характер определений у него различен. В большинстве своем они описательны, например: "Точка есть то, что не имеет частей"; генетические (указывающие на способ происхождения вещи), например: "Сфера будет, если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся полукруг снова вернется в то же самое [положение], из которого он начал двигаться, то охваченная фигура [и есть сфера]"; и, наконец, аксиоматические (то есть такие, которые могут быть сформулированы в виде аксиом), например, определение из книги: "Равные круги суть те, у которых диаметры равны, или прямые из центра равны".

В то время, как определения имеются почти в каждой отдельной книге, пять постулатов и общие понятия или аксиомы (их девять) помещены в начале всего труда. Первые из них - это требования для построения некоторых простейших геометрических фигур, между тем, как аксиомы - это общепризнанные положения, не нуждающиеся в доказательстве и лежащие в его основе.

Построения, допускаемые постулатами, предполагают линейку без делений, не разрешающую измерения расстояний. Ею можно пользоваться лишь для соединения двух точек или продолжения отрезка. Циркуль предназначался только для описания из выбранной точки, как из центра, окружности определенного радиуса, а не для переноса отрезка данной длины.

Ограничения, наложенные на употребление линейки и циркуля, были, по-видимому, связаны с тем, что эти инструменты заменили собой веревку, первоначально служившую как для проведения прямых, так и для описания окружностей. Эти ограничения не только усложнили выполнение построений, но, главное, - привели к тому, что в "Начала" не были включены те геометрические теории, которые требовали либо "вставок", либо других линий, отличных от прямой и окружности. Именно поэтому здесь не излагалась теория конических сечений, хотя она была в те времена достаточно развита. Но в "Начала" не вошла также и логистика - учение о практических вычислениях, - так как считалась скорее ремеслом, чем наукой.

Многие историки математики объясняют произведенный Евклидом отбор материала тем, что он, следуя Платону и пифагорейцам, считал только прямую и круг "совершенными" линиями. Однако Евклид вовсе не пренебрегал изучением конических сечений, а написал о них отдельное сочинение.

Содержание "Начал" не исчерпывается элементарной геометрией. В них подведен итог более чем трехвековому развитию науки и, вместе с тем, создана прочная база для дальнейших исследований.

Хостинг от uCoz