Развитие в Европе

В эпоху раннего феодализма и полного господства религии в духовной жизни не было стимулов для научных занятий естествознанием и математикой. Для хозяйства использовали правила измерения простейших фигур. Несколько большие требования к математике предъявлялись в монастырях, так как это были крупные религиозно - идеологические и хозяйственные организации. Заслуживающие внимания результаты получил английский мыслитель, магистр Томас Брадвардин (ок. 1300), который учился в Оксфордском университете, а в конце жизни стал архиепископом Кентерберийским. Его сочинение "Теоретическая геометрия" состояло из четырех разделов, каждый из которых открывался соответствующими определениями. В первом рассматривались звездчатые многоугольники, получаемые из правильных выпуклых многоугольников путем продолжения их сторон до пересечения. Брадвардин установил, что сумма острых углов звездчатого пятиугольника равна двум прямым и увеличивается каждый раз на два прямых с появлением новой вершины. Исследования звездчатых многоугольников представляло собой самостоятельный вклад ученого в науку.

В XIV в. жил Иоанн Педиасим - хранитель печати патриарха в Константинополе, который сочинил трактат об удвоении куба и труд "Геометрия", близкий к "Измерениям" Герона. Монахом Аргиром - переводчиком персидских астрономических сочинений - были написаны комментарии к первым шести книгам Евклида, "Геодезия", а также трактат об извлечении квадратных корней. Деятельность этих ученых приходилась на время политического упадка Византии, вокруг которой все плотнее смыкалось кольцо турецких завоевателей. В начале XV в. наиболее развитой частью Римской империи как в экономическом, так и культурном планах был Восток. Испания и Сицилия являлись самыми близкими пунктами соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь купцы и студенты ознакомились с цивилизацией Ислама. Установившиеся торговые связи, денежное обращение, постепенное усовершенствование техники привели к возникновению национальных государств. Под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономии, землемерия распространялся и интерес к математике. Горожане занимались в основном арифметикой и вычислениями. После падения Константинополя (1453), когда Византийская империя перестала существовать, многие греческие ученые переселились в города Западной Европы. Профессора университетов и образованные миряне стали изучать греческие тексты, бережно сохраненные и переведенные арабами.

Выдающимся математиком и астрономом второй половины XV века был Иоганн Мюллер из Кенигсберга, получивший имя Региомонтан по названию места его рождения. Работал в Венгрии, с 1471 года в Нюрнберге, где создал типографию для издания научных трудов. Систематически вел астрономические наблюдения, совершенствовал свои знания в греческом языке, собирал и переписывал рукописи древнегреческих и арабских ученых, готовил сокращенное изложение "Альмагеста" Птолемея, исправлял ошибки более ранних переводчиков этого произведения. Круг интересов Региомонтана был исключительно широк. Мы остановимся главным образом на его вкладе в развитие тригонометрии.

Становление тригонометрии происходило на стыке различных наук, куда ее включали в качестве вспомогательного раздела. Прошел длительный период, прежде чем она смогла превратиться в самостоятельную отрасль математики. Этому способствовал трактат Региомонтана "Пять книг о треугольниках всех видов" (1464). Он справедливо считается одним из первых сочинений, посвященных тригонометрии как самостоятельной области исследований. Это глубоко оригинальное сочинение несет на себе печать широкой осведомленности автора, как в древнегреческой математике, так и в арабской. Первое выразилось в строгой отточенности и логичности изложения, стройности структуры и ясности доказательств, второе - в использовании известных из арабских источников сведений по тригонометрии, а также в явном стремлении алгебраизировать геометрический раздел математики.

Большое значение для науки имела деятельность Региомонтана по отысканию древнегреческих и арабских рукописей. Результаты своих библиографических изысканий он намеревался опубликовать в личной типографии. Как собиратель и ценитель древних рукописей ученый знал, что при многократном переписывании в оригинальный текст попадают многочисленные описки, ошибки. Кроме того, книгопечатание облегчает распространение научных сведений, содействует развитию науки, стимулирует появление интереса к ней. Но ранняя смерть ученого не дала осуществить даже малую долю его задумок.

В Европе Нового времени (XVII - XVIII в.в.) и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и как следствие ее - целая серия изобретений, среди которых создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было также обусловлено усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. От машин путь вел к теоретическому и научному изучению движения, изменения вообще. Н. Тарталья в своей "Новой науке" (1537) рассматривал конструкцию часов и траектории движения снарядов, но еще не смог обнаружить их параболической орбиты. Среди последователей Архимеда выдающееся место занимал фламандский инженер и математик Симон Стевин, который написал работы о центрах тяжести и по гидравлике (1586), способствовал введению десятичной системы счисления.

Революция в астрономии, связанная с именами Н. Коперника, Тихо Браге и И. Кеплера, позволила по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Небесная механика давала возможность пополнить земную, что придавало смелости людям науки .

Кеплер отказался от архимедовой точности при вычислении объемов тел, получающихся при вращении конических сечений вокруг оси, лежащей в одной плоскости с ними. Круг в его представлении состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а сфера - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид. Его книга " Стереометрия винных бочек" (1615) произвела большое впечатление на читателей, так как ученый описал доступный метод определения объема более 80 различных тел вращения (бочек) . Каждому из полученных тел он дал свое оригинальное название: лимон, груша и т.п. в первой части произведения Кеплер по - своему доказал ряд предложений античной геометрии. Начиная с восемнадцатого, ученый использовал эти же приемы к раскрытию новых утверждений, например, он установил, что объем тора равен объему цилиндра, основанием которого являлось меридианное сечение тора, а высотой - длина окружности, описываемой центром образующего тор круга. Кеплер доказал это так. Меридианными сечениями тор разбивался на бесконечно большое число "кружков". Толщина их у внешнего края была больше, чем у внутреннего. Тогда среднее арифметическое этих измерений равно толщине кружочка в средней его части. Поэтому ученый принимал объем такого кружочка равным объему цилиндрического кружочка, имеющего высоту, равную толщине центральной части. Тогда тор и цилиндр, о которых говорилось в условии теоремы, разбивались на равное число равнообъемных частей, что и требовалось показать.

Как видим, Кеплер получает новый результат весьма простым приемом. "Стереометрия винных бочек" - первая работа нового времени, вводящая в геометрию "бесконечно" малые величины и принципы интегрального исчисления. Хотя, как говорил сам ученый во введении, поводом и целью написания книжки первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек при помощи одного промера их поперечной длины.

Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин. Галилео Галилей дал новую механику свободно падающих тел, был основателем теории упругости. В своих работах он пришел к математическому изучению движения, зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением.

Его работы содержат также параболическую орбиту движения снаряда, таблицы для определения высоты и дальности полета в зависимости от угла наклона и заданной начальной скорости. Ученик Галилея - итальянский математик Б.Кавальери (1598 - 1647) - считается основоположником метода неделимых как метода бесконечно малых. В своей "Геометрии неделимых" (1635) ученый рассматривал линии как фигуры составленные из точек, плоскости - из линий, тела - из плоскостей. Для определения площади плоских фигур последние он представлял состоящими из бесконечного множества отрезков (хорд), параллельных некоторой данной прямой, называемой "регулой", ограниченных двумя крайними прямыми. Для нахождения же объема Кавальери разбивал тело параллельными плоскостями на бесконечное множество сечений. Таким образом, представлялись в виде тканей, состоящих из тончайших параллельных нитей, а тела - в виде книг, состоящих из листов, однако с той существенной разницей, что в отличие от нитей и листов, число которых конечно, неделимых параллельных прямых и плоскостей в фигурах бесконечно много. Метод неделимых был использован также другими учеными и послужил одним из важных этапов в создании интегрального исчисления. В XVII в. шло развитие и метода пределов. Григорий Санкт-Винцент (1584 - 1667) в своем сочинении "Геометрический труд", пользуясь античным способом Евдокса - Архимеда, находил площади и объемы новых фигур путем сравнения соответственно с площадями и объемами известных фигур. Он вписывал в данные фигуры известные, чтобы последние "исчерпали" площади или объемы. От употребляемого в этом труде слова "исчерпывать" и произошло название "метод исчерпывания".

После работ Кеплера, Кавальери и других ученых, в которых впервые были применены идеи бесконечного в геометрии, в том же веке последовали работы Ферма, Паскаля, Ньютона и Лейбница, которые привели к формированию новых важнейших понятий - производной, интеграла и к созданию исчисления бесконечно малых.

Постепенное развитие анализа получило мощный импульс, когда была опубликована "Геометрия " (1637) Р.Декарта, объединившая алгебру и классическую геометрию. Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке. Так как единственной дисциплиной о природе, обладавшей в известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к ее пониманию давала математика, то последняя и стала наиболее важным средством для постижения Вселенной.

Декарт опубликовал "Геометрию" в качестве применения своего общего метода. Согласно общепринятой точке зрения заслуга его книги состоит главным образом в создании аналитической геометрии и разработке метода координат. Ученый указал, что кривые аналитически выражаются алгебраическими уравнениями, степени которых не зависят от выбора прямоугольной системы координат. Метод координат позволил неограниченно увеличивать количество изучаемых кривых, так как каждое уравнение, связывающее между собой две переменные величины, представляло новую линию. Независимо от Декарта и немного раньше его в более систематичной форме П.Ферма (1601 - 1665) разработал начала аналитической геометрии, развил метод координат, дав в своей "Геометрии" (1629) уравнения прямой, кривых второго порядка и наметив доказательство положения о том, что все линии второго порядка являются коническими сечениями. Долгое время его труд оставался в рукописи и поэтому не получил такого широкого распространения, как, например, "Геометрия" Декарта.

В основу изложения математики Евклид еще в III в. до н.э. положил девять аксиом и пять постулатов. Все они принимались без доказательства. Особое внимание обращал на себя только пятый постулат в силу меньшей наглядности и обширной формулировки. Попытки его доказательства предпринимались в течение двух тысячелетий сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а позднее - в Западной Европе. Все они оказались неудачными и приводили математиков к мысли о замене его противоположным утверждением, из которого должны были бы получиться абсурдные следствия. Одним из первых по такому пути пошел итальянский математик Джованни Саккери(1667 - 1733). Приведем выполненное им построение и доказательство постулата о параллельных .

В начале XIX в. несколько человек пришли к убеждению о том, что постулат о параллельных недоказуем. Осознали реальность существования других геометрий три математика: К.Ф. Гаусс (1771 - 1855), Н.И.Лобачевский (1792 - 1856), Я. Больяи (1802 - 1866). Ничего не зная об исследованиях другого, каждый из них разработал свою концепцию неевклидовой геометрии.

Лобачевский не только первый опубликовал свое открытие и наиболее глубоко развил новую геометрию, но и всю жизнь мужественно отстаивал ее, поэтому она по праву носит его имя. Создав новую геометрию, Лобачевский, а также и другие ученые, поставил вопрос о ее существовании в природе. Он предположил, что в пространстве больших размеров, как, например наша галактика, имеет место его "воображаемая" геометрия. Позднее учеными была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского и найдены ее интерпретации на некоторых поверхностях, находящихся в трехмерном евклидовом пространстве.

Появление геометрии Лобачевского оказано огромное влияние на все естественные науки. Это открытие разрушило традиционные взгляды на окружающий мир, вывело ученых из узких рамок созданных ими стереотипов мышления. Они стали более восприимчивы к новым неожиданным научным открытиям. Так, ученые-физики пришли к выводу о существовании в микромире волн-частиц - такого образования, которое не встречается в повседневной жизни. Это стало возможным благодаря созданию новой геометрии.

К концу XIX в. геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разнообразные пространства и фигуры в них. Одновременно велась разработка уже сложившейся области евклидовой геометрии - элементарной, которая заключалась в уточнении формулировок аксиом. В 1899 г. появился ставшим классическим труд Д. Гильберта (1862 - 1943) "Основания геометрии", в котором он построил аксиоматику геометрии так, что ее логическая структура стала совершенно ясной! Ученый выбрал шесть основных понятий (точка, прямая, плоскость, принадлежность, между, конгруэнтный), содержание которых раскрыл в системе аксиом, состоящей из пяти групп. Не опыт отдельных личностей, а накопленный человечеством длительный тысячелетний опыт подсказал, какие именно аксиомы следует положить в основу геометрии. Вся практическая многовековая деятельность человека подтверждает истинность принятых аксиом и всей построенной на них геометрии. Аксиоматический метод, впервые полностью разработанный Гильбертом на примере геометрической науки, проник и в другие ветви математики (теорию множеств, учение о расширении понятия числа, алгебру и др.).

XX век принес, прежде всего, новую ветвь геометрии. Подобно тому, как аналитическая геометрия создавалась из разрозненных материалов, копившихся в течение нескольких веков, так из многообразных отрывочных идей, разбросанных по всей истории геометрии, складывалась особая дисциплина - топология. В связи с развитием теорий поверхностей и аналитических функций началось систематическое изучение топологических свойств фигур, т.е. свойств сохраняющихся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (сжатии, расширении, искажении размеров и формы фигуры). При топологических преобразованиях должны сохраняться отношения прикосновения, бесконечной близости, или иначе взаимная непрерывность и однозначность. Чтобы наглядно представить это возьмем, например, замкнутую прочную резиновую нить и придадим ей поочередно форму треугольника, квадрата, окружности, овала. Все эти фигуры одинаковы с топологической точки зрения. Однако невозможно с помощью деформации превратить окружность ни в линию, имеющую форму восьмерки, т.к. для этого потребовалось бы склеить две ее точки (нарушилась бы взаимная однозначность), ни в отрезок прямой, т.к. для этого пришлось бы разорвать окружность (нарушилась бы взаимная непрерывность). Поэтому говорят, что окружность и отрезок - топологически различные фигуры.

Термин "топология" впервые ввел немецкий физик, математик и астроном И.Б.Листинг (1808 - 1882) в своей книге "Предварительные исследования по топологии", ставшей первой печатной работой нового направления геометрии. Развитие топологии в 50 - 60-х годах прошлого века было связано с именем Б.Римана (1826 - 1886), который уже в диссертации изложил основные идеи, которые он развил позднее. В своих сочинениях ученый заложил основу топологии многомерных поверхностей. В трудах А.Пуанкаре (1854 - 1912) топология определилась уже как самостоятельная дисциплина со своими общими понятиями, задачами и методами.

Возникшая из практических нужд измерения площадей земельных участков и определения объемов сосудов, амбаров, геометрия прошла длинный и сложный путь, пока превратилась в древней Греции в дедуктивную науку, изложенную в "Началах" Евклида. Не менее сложным, как вы убедились, было дальнейшее ее развитие. Применение к геометрии алгебраического и аналитического методов в трудах Ферма, Декарта, Эйлера и других ученых привело в XVII - XVIII в.в. к созданию и развитию аналитической, а также дифференциальной геометрий. Переломным пунктом в истории науки стало открытие геометрии Лобачевского, за которым последовало построение и развитие новых различных систем геометрических пространств, в том числе n-мерного в трудах Римана, Клейна и других. Благодаря работам Пуанкаре, Гильберта и других ученых XX в., сыгравших существенную роль в развитии топологии и аксиоматики, геометрические методы проникли во многие области современной математике и естествознания. В связи с формированием понятия абстрактного пространства предметом геометрии в широком смысле сегодня являются любые формы и отношения, которые в абстрактном плане сходны с пространственными, любые пространства и фигуры.